gf_minimal_polynomial

Parámetros

F

p

Número primo: la característica del campo, como máximo 2^20.

n

Grado del campo: un entero de 1 a 20, con p^n ≤ 2^20. Con esta sintaxis, el campo usa el polinomio primitivo que devuelve gf_default_primitive_polynomial.

e

El elemento, como entero.

Para n = 1: el propio elemento, en 0 .. p-1.
Para n > 1: el exponente k de α^k, en -1 .. p^n - 2. Use -1 para el elemento cero. gf_to_exponential convierte a esta forma un elemento dado por sus coeficientes.

m

El polinomio mínimo: una fila de n + 1 coeficientes, empezando por el término constante. Su grado d divide a n; cuando d < n, la fila se completa con ceros a la derecha.

Descripción

El polinomio mínimo de un elemento β de GF(p^n) es el polinomio mónico de menor grado con coeficientes en GF(p) que tiene a β como raíz. Es el producto de (x - γ) sobre los conjugados distintos γ = β, β^p, β^(p²), ... de β.

Algunos casos particulares:

el polinomio mínimo de 0 es x, y el de 1 es x - 1;
el polinomio mínimo de un elemento primitivo es un polinomio primitivo; para α es el propio polinomio primitivo del campo;
en GF(p) (n = 1), el polinomio mínimo de e es x - e.

Ejemplos

F = gf_create_field(2, 4);        // 1 + x + x^4
gf_minimal_polynomial(F, 1)       // [1 1 0 0 1]: alpha tiene el polinomio del campo
gf_minimal_polynomial(F, 3)       // [1 1 1 1 1]
gf_minimal_polynomial(F, 5)       // [1 1 1 0 0]: alpha^5 está en el subcampo GF(4)
gf_minimal_polynomial(F, 0)       // [1 1 0 0 0]: 1 + x para el elemento 1
gf_minimal_polynomial(F, -1)      // [0 1 0 0 0]: x para el elemento 0

// Elemento dado por sus coeficientes
k = gf_to_exponential(F, [1 1 0 1]);
gf_minimal_polynomial(F, k)

// Sin crear antes el campo
gf_minimal_polynomial(7, 1, 3)    // [4 1]: x - 3

Ver también

gf_to_exponential — Convierte elementos de GF(p^n) a notación exponencial α^k
gf_is_primitive_polynomial — Comprueba si un polinomio sobre GF(p) es primitivo
gf_create_field — Crea el campo finito GF(p^n) a partir de un polinomio primitivo

Historial

Version	Description
2.0.0	Refactorización de la función/toolbox.